Пример нахождения обратной матрицы 3x3

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Найдем матрицу A^-1, обратную исходной:

A =	4	3	2
	2	1	-1
	3	3	2

Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:

A^-1 = 1 / det A *	A₁₁	A₂₁	A₃₁
	A₁₂	A₂₂	A₃₂
	A₁₃	A₂₃	A₃₃

A₁₁ ... A₃₃ - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже.

На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно.

Вычислим det A.

det A =	4	3	2	=
	2	1	-1
	3	3	2

К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -1. подробнее

4 + 3 * ( -1)	3 + 3 * ( -1)	2 + 2 * ( -1)
2	1	-1
3	3	2

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	0	0	=
	2	1	-1
	3	3	2

Разложим определитель по элементам строки 1. подробнее

1	0	0
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 1
Номер столбца 1

Элемент

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{1 + 1}

		1	-1
		3	2

1	0	0
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 1
Номер столбца 2

Элемент

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{1 + 2}

		2	-1
		3	2

1	0	0
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

		2	1
		3	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 1} * 1 *		1	-1		=
		3	2

=		1	-1		=
		3	2

= 1 * 2 - ( -1) * 3 =

= 2 + 3 =

= 5

det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно.

Вычислим числа (алгебраические дополнения) A₁₁ ... A₃₃

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 1
Номер столбца 1

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

A₁₁

( -1) ^{1 + 1}

		1	-1		=
		3	2

= 1 * 2 - ( -1) * 3 = 2 + 3 = 5

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 1
Номер столбца 2

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

A₁₂

( -1) ^{1 + 2}

		2	-1		=
		3	2

= - ( 2 * 2 - ( -1) * 3 ) = - (4 + 3) = -7

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 1
Номер столбца 3

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

A₁₃

( -1) ^{1 + 3}

		2	1		=
		3	3

= 2 * 3 - 1 * 3 = 6 - 3 = 3

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 2
Номер столбца 1

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

A₂₁

( -1) ^{2 + 1}

		3	2		=
		3	2

= - ( 3 * 2 - 2 * 3 ) = - (6 - 6) = 0

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 2
Номер столбца 2

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

A₂₂

( -1) ^{2 + 2}

		4	2		=
		3	2

= 4 * 2 - 2 * 3 = 8 - 6 = 2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 2
Номер столбца 3

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

A₂₃

( -1) ^{2 + 3}

		4	3		=
		3	3

= - ( 4 * 3 - 3 * 3 ) = - (12 - 9) = -3

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 3
Номер столбца 1

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

A₃₁

( -1) ^{3 + 1}

		3	2		=
		1	-1

= 3 * ( -1) - 2 * 1 = -3 - 2 = -5

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 3
Номер столбца 2

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

A₃₂

( -1) ^{3 + 2}

		4	2		=
		2	-1

= - ( 4 * ( -1) - 2 * 2 ) = - (-4 - 4) = 8

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

Номер строки 3
Номер столбца 3

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

A₃₃

( -1) ^{3 + 3}

		4	3		=
		2	1

= 4 * 1 - 3 * 2 = 4 - 6 = -2

Ответ:

A^-1 = 1 / det A *	A₁₁	A₂₁	A₃₁
	A₁₂	A₂₂	A₃₂
	A₁₃	A₂₃	A₃₃

A^-1 = 1 / 5 *	5	0	-5
	-7	2	8
	3	-3	-2

A^-1 =	1	0	-1
	-7/5	2/5	8/5
	3/5	-3/5	-2/5

Проверим ответ

Необходимо проверить, что выполняется условие: A^-1 * A = E.

Мы будем использовать предпоследнюю форму записи обратной матрицы A^-1.
Это позволит нам избежать вычислений с дробями.

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

b₁₁	b₁₂	b₁₃
b₂₁	b₂₂	b₂₃
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₁₁ = 5 * 4 + 0 * 2 + ( -5) * 3 = 20 + 0 - 15 = 5

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	b₁₂	b₁₃
b₂₁	b₂₂	b₂₃
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₁₂ = 5 * 3 + 0 * 1 + ( -5) * 3 = 15 + 0 - 15 = 0

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	b₁₃
b₂₁	b₂₂	b₂₃
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₁₃ = 5 * 2 + 0 * ( -1) + ( -5) * 2 = 10 + 0 - 10 = 0

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
b₂₁	b₂₂	b₂₃
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₂₁ = -7 * 4 + 2 * 2 + 8 * 3 = -28 + 4 + 24 = 0

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
0	b₂₂	b₂₃
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₂₂ = -7 * 3 + 2 * 1 + 8 * 3 = -21 + 2 + 24 = 5

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
0	5	b₂₃
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₂₃ = -7 * 2 + 2 * ( -1) + 8 * 2 = -14 - 2 + 16 = 0

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
0	5	0
b₃₁	b₃₂	b₃₃

b₃₁ = 3 * 4 + ( -3) * 2 + ( -2) * 3 = 12 - 6 - 6 = 0

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
0	5	0
0	b₃₂	b₃₃

b₃₂ = 3 * 3 + ( -3) * 1 + ( -2) * 3 = 9 - 3 - 6 = 0

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
0	5	0
0	0	b₃₃

b₃₃ = 3 * 2 + ( -3) * ( -1) + ( -2) * 2 = 6 + 3 - 4 = 5

5	0	-5
-7	2	8
3	-3	-2

4	3	2
2	1	-1
3	3	2

5	0	0
0	5	0
0	0	5

Необходимо умножить получившуюся матрицу на 1/5

1/5 *	5	0	0
	0	5	0
	0	0	5

1	0	0
0	1	0
0	0	1

= E

Таким образом, найденная матрица A^-1 является обратной для исходной матрицы A.

Пожалуйста, не забудьте поддержать сайт ссылкой.