Пример нахождения обратной матрицы 3x3

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Найдем матрицу A-1, обратную исходной:
A = 4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A11 ... A33   - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже.
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно.
Вычислим det A.
det A = 4 3 2 =
2 1 -1
3 3 2
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -1.   подробнее
4 + 3 * ( -1) 3 + 3 * ( -1) 2 + 2 * ( -1)
2 1 -1
3 3 2
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 0 0 =
2 1 -1
3 3 2
Разложим определитель по элементам строки 1.   подробнее
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 1
Номер столбца 1
Элемент Строку 1 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 1 + 1 * 1 *
1 -1
3 2
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 1
Номер столбца 2
Элемент Строку 1 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 1 + 2 * 0 *
2 -1
3 2
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 1
Номер столбца 3
Элемент Строку 1 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 1 + 3 * 0 *
2 1
3 3
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 1 + 1 * 1 * 1 -1 =
3 2
= 1 -1 =
3 2
= 1 * 2 - ( -1) * 3 =
= 2 + 3 =
= 5
det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно.
Вычислим числа (алгебраические дополнения)   A11 ... A33
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 1
Номер столбца 1
Строку 1 и столбец 1
вычеркнули
A11 = ( -1) 1 + 1 *
1 -1 =
3 2
= 1 * 2 - ( -1) * 3 = 2 + 3 = 5
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 1
Номер столбца 2
Строку 1 и столбец 2
вычеркнули
A12 = ( -1) 1 + 2 *
2 -1 =
3 2
= - ( 2 * 2 - ( -1) * 3 ) = - (4 + 3) = -7
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 1
Номер столбца 3
Строку 1 и столбец 3
вычеркнули
A13 = ( -1) 1 + 3 *
2 1 =
3 3
= 2 * 3 - 1 * 3 = 6 - 3 = 3
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 2
Номер столбца 1
Строку 2 и столбец 1
вычеркнули
A21 = ( -1) 2 + 1 *
3 2 =
3 2
= - ( 3 * 2 - 2 * 3 ) = - (6 - 6) = 0
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 2
Номер столбца 2
Строку 2 и столбец 2
вычеркнули
A22 = ( -1) 2 + 2 *
4 2 =
3 2
= 4 * 2 - 2 * 3 = 8 - 6 = 2
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 2
Номер столбца 3
Строку 2 и столбец 3
вычеркнули
A23 = ( -1) 2 + 3 *
4 3 =
3 3
= - ( 4 * 3 - 3 * 3 ) = - (12 - 9) = -3
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 3
Номер столбца 1
Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
A31 = ( -1) 3 + 1 *
3 2 =
1 -1
= 3 * ( -1) - 2 * 1 = -3 - 2 = -5
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 3
Номер столбца 2
Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
A32 = ( -1) 3 + 2 *
4 2 =
2 -1
= - ( 4 * ( -1) - 2 * 2 ) = - (-4 - 4) = 8
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Номер строки 3
Номер столбца 3
Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
A33 = ( -1) 3 + 3 *
4 3 =
2 1
= 4 * 1 - 3 * 2 = 4 - 6 = -2
Ответ:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A-1 = 1 / 5 * 5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
A-1 = 1 0 -1
-7/5 2/5 8/5
3/5 -3/5 -2/5
Необходимо проверить, что выполняется условие:   A-1 * A = E.
Мы будем использовать предпоследнюю форму записи обратной матрицы A-1.
Это позволит нам избежать вычислений с дробями.
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b11 = 5 * 4 + 0 * 2 + ( -5) * 3 = 20 + 0 - 15 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b12 = 5 * 3 + 0 * 1 + ( -5) * 3 = 15 + 0 - 15 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b13 = 5 * 2 + 0 * ( -1) + ( -5) * 2 = 10 + 0 - 10 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b21 = -7 * 4 + 2 * 2 + 8 * 3 = -28 + 4 + 24 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 b22 b23
b31 b32 b33
b22 = -7 * 3 + 2 * 1 + 8 * 3 = -21 + 2 + 24 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 b23
b31 b32 b33
b23 = -7 * 2 + 2 * ( -1) + 8 * 2 = -14 - 2 + 16 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
b31 b32 b33
b31 = 3 * 4 + ( -3) * 2 + ( -2) * 3 = 12 - 6 - 6 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 b32 b33
b32 = 3 * 3 + ( -3) * 1 + ( -2) * 3 = 9 - 3 - 6 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 0 b33
b33 = 3 * 2 + ( -3) * ( -1) + ( -2) * 2 = 6 + 3 - 4 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 0 5
Необходимо умножить получившуюся матрицу на 1/5
1/5 * 5 0 0
0 5 0
0 0 5
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= E
Таким образом, найденная матрица A-1 является обратной для исходной матрицы A.





2021 All rights reserved
matematika1974@yandex.ru
site partners