Przykład znalezienia macierzy odwrotnej 3x3

Takie rozwiązanie zostało otrzymane przy użyciu kalkulatora przedstawionego na stronie.

A = 4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Napiszmy wzór na znalezienie macierzy odwrotnej:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A11 ... A33   to liczby (uzupełnienia algebraiczne), które zostaną znalezione później.
Nie można dzielić przez zero. Dlatego jeśli det A jest równe zero, wówczas nie można znaleźć macierzy odwrotnej.
Obliczamy det A.
det A = 4 3 2 =
2 1 -1
3 3 2
Do elementów wiersza 1 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 3 pomnożone przez -1.   dowiedz się więcej
4 + 3 * ( -1) 3 + 3 * ( -1) 2 + 2 * ( -1)
2 1 -1
3 3 2
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= 1 0 0 =
2 1 -1
3 3 2
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 1.   dowiedz się więcej
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 1
Element Wiersz 1 i kolumna 1
zostały przekreślone
( -1) 1 + 1 * 1 *
1 -1
3 2
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 2
Element Wiersz 1 i kolumna 2
zostały przekreślone
( -1) 1 + 2 * 0 *
2 -1
3 2
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 3
Element Wiersz 1 i kolumna 3
zostały przekreślone
( -1) 1 + 3 * 0 *
2 1
3 3
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
= ( -1) 1 + 1 * 1 * 1 -1 =
3 2
= 1 -1 =
3 2
= 1 * 2 - ( -1) * 3 =
= 2 + 3 =
= 5
det A nie jest zerem. Dlatego możliwe jest znalezienie odwrotności macierzy.
Obliczamy liczby (uzupełnienia algebraiczne)   A11 ... A33
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 1
Wiersz 1 i kolumna 1
zostały przekreślone
A11 = ( -1) 1 + 1 *
1 -1 =
3 2
= 1 * 2 - ( -1) * 3 = 2 + 3 = 5
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 2
Wiersz 1 i kolumna 2
zostały przekreślone
A12 = ( -1) 1 + 2 *
2 -1 =
3 2
= - ( 2 * 2 - ( -1) * 3 ) = - (4 + 3) = -7
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 3
Wiersz 1 i kolumna 3
zostały przekreślone
A13 = ( -1) 1 + 3 *
2 1 =
3 3
= 2 * 3 - 1 * 3 = 6 - 3 = 3
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 2
Numer kolumny 1
Wiersz 2 i kolumna 1
zostały przekreślone
A21 = ( -1) 2 + 1 *
3 2 =
3 2
= - ( 3 * 2 - 2 * 3 ) = - (6 - 6) = 0
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 2
Numer kolumny 2
Wiersz 2 i kolumna 2
zostały przekreślone
A22 = ( -1) 2 + 2 *
4 2 =
3 2
= 4 * 2 - 2 * 3 = 8 - 6 = 2
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 2
Numer kolumny 3
Wiersz 2 i kolumna 3
zostały przekreślone
A23 = ( -1) 2 + 3 *
4 3 =
3 3
= - ( 4 * 3 - 3 * 3 ) = - (12 - 9) = -3
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 3
Numer kolumny 1
Wiersz 3 i kolumna 1
zostały przekreślone
A31 = ( -1) 3 + 1 *
3 2 =
1 -1
= 3 * ( -1) - 2 * 1 = -3 - 2 = -5
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 3
Numer kolumny 2
Wiersz 3 i kolumna 2
zostały przekreślone
A32 = ( -1) 3 + 2 *
4 2 =
2 -1
= - ( 4 * ( -1) - 2 * 2 ) = - (-4 - 4) = 8
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Numer wiersza 3
Numer kolumny 3
Wiersz 3 i kolumna 3
zostały przekreślone
A33 = ( -1) 3 + 3 *
4 3 =
2 1
= 4 * 1 - 3 * 2 = 4 - 6 = -2
Ответ:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A-1 = 1 / 5 * 5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
A-1 = 1 0 -1
-7/5 2/5 8/5
3/5 -3/5 -2/5
Konieczne jest sprawdzenie, czy spełniony jest warunek:   A-1 * A = E.
Użyjemy przedostatniej formy zapisu macierzy odwrotnej A-1.
Pozwoli nam to uniknąć obliczeń na ułamkach.
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b11 = 5 * 4 + 0 * 2 + ( -5) * 3 = 20 + 0 - 15 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b12 = 5 * 3 + 0 * 1 + ( -5) * 3 = 15 + 0 - 15 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b13 = 5 * 2 + 0 * ( -1) + ( -5) * 2 = 10 + 0 - 10 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b21 = -7 * 4 + 2 * 2 + 8 * 3 = -28 + 4 + 24 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 b22 b23
b31 b32 b33
b22 = -7 * 3 + 2 * 1 + 8 * 3 = -21 + 2 + 24 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 b23
b31 b32 b33
b23 = -7 * 2 + 2 * ( -1) + 8 * 2 = -14 - 2 + 16 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
b31 b32 b33
b31 = 3 * 4 + ( -3) * 2 + ( -2) * 3 = 12 - 6 - 6 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 b32 b33
b32 = 3 * 3 + ( -3) * 1 + ( -2) * 3 = 9 - 3 - 6 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 0 b33
b33 = 3 * 2 + ( -3) * ( -1) + ( -2) * 2 = 6 + 3 - 4 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 0 5
Konieczne jest pomnożenie otrzymanej macierzy przez 1/5
1/5 * 5 0 0
0 5 0
0 0 5
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= E
Zatem znaleziona macierz A-1 jest odwrotna do oryginalnej macierzy A.





2021 All rights reserved
matematika1974@yandex.ru
site partners