El ejemplo como encontrar la matriz inversa 3x3

Esta solución está hecha en la calculadora presentada en el sitio web.

A = 4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Anotamos la fórmula para encontrar la matriz inversa:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A11 ... A33   son los números (complementos algebraicos) que se encontrarán más adelante.
No se puede dividir por cero. Por eso, si det A es igual a cero, entonces es imposible encontrar la matriz inversa.
Calculamos det A.
det A = 4 3 2 =
2 1 -1
3 3 2
A los elementos de la fila 1 sumamos los correspondientes elementos de la fila 3 multiplicados por -1.   más información
4 + 3 * ( -1) 3 + 3 * ( -1) 2 + 2 * ( -1)
2 1 -1
3 3 2
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
= 1 0 0 =
2 1 -1
3 3 2
Desarrollamos el determinante por los elementos de la fila 1.   más información
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 1
Número de columna 1
Elemento Se excluyeron
la fila 1 y la columna 1
( -1) 1 + 1 * 1 *
1 -1
3 2
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 1
Número de columna 2
Elemento Se excluyeron
la fila 1 y la columna 2
( -1) 1 + 2 * 0 *
2 -1
3 2
1 0 0
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 1
Número de columna 3
Elemento Se excluyeron
la fila 1 y la columna 3
( -1) 1 + 3 * 0 *
2 1
3 3
Las multiplicaciones se suman. Si el elemento es igual a cero, entonces la multiplicación también es igual a cero.
= ( -1) 1 + 1 * 1 * 1 -1 =
3 2
= 1 -1 =
3 2
= 1 * 2 - ( -1) * 3 =
= 2 + 3 =
= 5
det A no es igual a cero. Por tanto, es posible encontrar la matriz inversa.
Calculamos los números (complementos algebraicos)   A11 ... A33
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 1
Número de columna 1
Se excluyeron
la fila 1 y la columna 1
A11 = ( -1) 1 + 1 *
1 -1 =
3 2
= 1 * 2 - ( -1) * 3 = 2 + 3 = 5
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 1
Número de columna 2
Se excluyeron
la fila 1 y la columna 2
A12 = ( -1) 1 + 2 *
2 -1 =
3 2
= - ( 2 * 2 - ( -1) * 3 ) = - (4 + 3) = -7
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 1
Número de columna 3
Se excluyeron
la fila 1 y la columna 3
A13 = ( -1) 1 + 3 *
2 1 =
3 3
= 2 * 3 - 1 * 3 = 6 - 3 = 3
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 2
Número de columna 1
Se excluyeron
la fila 2 y la columna 1
A21 = ( -1) 2 + 1 *
3 2 =
3 2
= - ( 3 * 2 - 2 * 3 ) = - (6 - 6) = 0
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 2
Número de columna 2
Se excluyeron
la fila 2 y la columna 2
A22 = ( -1) 2 + 2 *
4 2 =
3 2
= 4 * 2 - 2 * 3 = 8 - 6 = 2
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 2
Número de columna 3
Se excluyeron
la fila 2 y la columna 3
A23 = ( -1) 2 + 3 *
4 3 =
3 3
= - ( 4 * 3 - 3 * 3 ) = - (12 - 9) = -3
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 3
Número de columna 1
Se excluyeron
la fila 3 y la columna 1
A31 = ( -1) 3 + 1 *
3 2 =
1 -1
= 3 * ( -1) - 2 * 1 = -3 - 2 = -5
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 3
Número de columna 2
Se excluyeron
la fila 3 y la columna 2
A32 = ( -1) 3 + 2 *
4 2 =
2 -1
= - ( 4 * ( -1) - 2 * 2 ) = - (-4 - 4) = 8
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
Número de fila 3
Número de columna 3
Se excluyeron
la fila 3 y la columna 3
A33 = ( -1) 3 + 3 *
4 3 =
2 1
= 4 * 1 - 3 * 2 = 4 - 6 = -2
Respuesta:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A-1 = 1 / 5 * 5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
A-1 = 1 0 -1
-7/5 2/5 8/5
3/5 -3/5 -2/5
Hay que verificar que se cumple la condición:   A-1 * A = E.
Vamos a usar la penúltima forma de anotación de la matriz A-1.
Esto nos permite evitar cálculos con fracciones.
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b11 = 5 * 4 + 0 * 2 + ( -5) * 3 = 20 + 0 - 15 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b12 = 5 * 3 + 0 * 1 + ( -5) * 3 = 15 + 0 - 15 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b13 = 5 * 2 + 0 * ( -1) + ( -5) * 2 = 10 + 0 - 10 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b21 = -7 * 4 + 2 * 2 + 8 * 3 = -28 + 4 + 24 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 b22 b23
b31 b32 b33
b22 = -7 * 3 + 2 * 1 + 8 * 3 = -21 + 2 + 24 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 b23
b31 b32 b33
b23 = -7 * 2 + 2 * ( -1) + 8 * 2 = -14 - 2 + 16 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
b31 b32 b33
b31 = 3 * 4 + ( -3) * 2 + ( -2) * 3 = 12 - 6 - 6 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 b32 b33
b32 = 3 * 3 + ( -3) * 1 + ( -2) * 3 = 9 - 3 - 6 = 0
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 0 b33
b33 = 3 * 2 + ( -3) * ( -1) + ( -2) * 2 = 6 + 3 - 4 = 5
5 0 -5
-7 2 8
3 -3 -2
*
4 3 2
2 1 -1
3 3 2
=
5 0 0
0 5 0
0 0 5
Hay que multiplicar la matriz resultante por 1/5
1/5 * 5 0 0
0 5 0
0 0 5
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= E
Por tanto, la matriz A-1 encontrada es inversa a la matriz original A.





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