Пример нахождения обратной матрицы 2x2

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Найдем матрицу A^-1, обратную исходной:

A =		1	1
		-1	3

Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:

A^-1 = 1 / det A *		A₁₁	A₂₁
		A₁₂	A₂₂

A₁₁ ... A₂₂ - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже.

На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно.

Вычислим det A.

det A =		1	1
		-1	3

= 1 * 3 - 1 * ( -1) = 3 + 1 = 4

det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно.

Вычислим числа (алгебраические дополнения) A₁₁ ... A₂₂

	1	1
	-1	3

Номер строки 1
Номер столбца 1

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

A₁₁

( -1) ^{1 + 1}

= 3

	1	1
	-1	3

Номер строки 1
Номер столбца 2

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

A₁₂

( -1) ^{1 + 2}

-1

= 1

	1	1
	-1	3

Номер строки 2
Номер столбца 1

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

A₂₁

( -1) ^{2 + 1}

= -1

	1	1
	-1	3

Номер строки 2
Номер столбца 2

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

A₂₂

( -1) ^{2 + 2}

= 1

Ответ:

A^-1 = 1 / det A *		A₁₁	A₂₁
		A₁₂	A₂₂

A^-1 = 1 / 4 *		3	-1
		1	1

A^-1 =		3/4	-1/4
		1/4	1/4

Проверим ответ

Необходимо проверить, что выполняется условие: A^-1 * A = E.

Мы будем использовать предпоследнюю форму записи обратной матрицы A^-1.
Это позволит нам избежать вычислений с дробями.

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	b₁₁	b₁₂
	b₂₁	b₂₂

b₁₁ = 3 * 1 + ( -1) * ( -1) = 3 + 1 = 4

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	b₁₂
	b₂₁	b₂₂

b₁₂ = 3 * 1 + ( -1) * 3 = 3 - 3 = 0

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	0
	b₂₁	b₂₂

b₂₁ = 1 * 1 + 1 * ( -1) = 1 - 1 = 0

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	0
	0	b₂₂

b₂₂ = 1 * 1 + 1 * 3 = 1 + 3 = 4

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	0
	0	4

Необходимо умножить получившуюся матрицу на 1/4

1/4 *		4	0
		0	4

	1	0
	0	1

= E

Таким образом, найденная матрица A^-1 является обратной для исходной матрицы A.

Пожалуйста, не забудьте поддержать сайт ссылкой.