Пример нахождения обратной матрицы 2x2

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Найдем матрицу A-1, обратную исходной:
A = 1 1
-1 3
Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:
A-1 = 1 / det A * A11 A21
A12 A22
A11 ... A22   - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже.
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно.
Вычислим det A.
det A = 1 1
-1 3
= 1 * 3 - 1 * ( -1) = 3 + 1 = 4
det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно.
Вычислим числа (алгебраические дополнения)   A11 ... A22
1 1
-1 3
Номер строки 1
Номер столбца 1
Строку 1 и столбец 1
вычеркнули
A11 = ( -1) 1 + 1 * 3 = 3
1 1
-1 3
Номер строки 1
Номер столбца 2
Строку 1 и столбец 2
вычеркнули
A12 = ( -1) 1 + 2 * -1 = 1
1 1
-1 3
Номер строки 2
Номер столбца 1
Строку 2 и столбец 1
вычеркнули
A21 = ( -1) 2 + 1 * 1 = -1
1 1
-1 3
Номер строки 2
Номер столбца 2
Строку 2 и столбец 2
вычеркнули
A22 = ( -1) 2 + 2 * 1 = 1
Ответ:
A-1 = 1 / det A * A11 A21
A12 A22
A-1 = 1 / 4 * 3 -1
1 1
A-1 = 3/4 -1/4
1/4 1/4
Необходимо проверить, что выполняется условие:   A-1 * A = E.
Мы будем использовать предпоследнюю форму записи обратной матрицы A-1.
Это позволит нам избежать вычислений с дробями.
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
b11 b12
b21 b22
b11 = 3 * 1 + ( -1) * ( -1) = 3 + 1 = 4
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 b12
b21 b22
b12 = 3 * 1 + ( -1) * 3 = 3 - 3 = 0
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 0
b21 b22
b21 = 1 * 1 + 1 * ( -1) = 1 - 1 = 0
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 0
0 b22
b22 = 1 * 1 + 1 * 3 = 1 + 3 = 4
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 0
0 4
Необходимо умножить получившуюся матрицу на 1/4
1/4 * 4 0
0 4
=
1 0
0 1
= E
Таким образом, найденная матрица A-1 является обратной для исходной матрицы A.





2021 All rights reserved
matematika1974@yandex.ru
site partners