El ejemplo como encontrar la matriz inversa 2x2

Esta solución está hecha en la calculadora presentada en el sitio web.

A = 1 1
-1 3
Anotamos la fórmula para encontrar la matriz inversa:
A-1 = 1 / det A * A11 A21
A12 A22
A11 ... A22   son los números (complementos algebraicos) que se encontrarán más adelante.
No se puede dividir por cero. Por eso, si det A es igual a cero, entonces es imposible encontrar la matriz inversa.
Calculamos det A.
det A = 1 1
-1 3
= 1 * 3 - 1 * ( -1) = 3 + 1 = 4
det A no es igual a cero. Por tanto, es posible encontrar la matriz inversa.
Calculamos los números (complementos algebraicos)   A11 ... A22
1 1
-1 3
Número de fila 1
Número de columna 1
Se excluyeron
la fila 1 y la columna 1
A11 = ( -1) 1 + 1 * 3 = 3
1 1
-1 3
Número de fila 1
Número de columna 2
Se excluyeron
la fila 1 y la columna 2
A12 = ( -1) 1 + 2 * -1 = 1
1 1
-1 3
Número de fila 2
Número de columna 1
Se excluyeron
la fila 2 y la columna 1
A21 = ( -1) 2 + 1 * 1 = -1
1 1
-1 3
Número de fila 2
Número de columna 2
Se excluyeron
la fila 2 y la columna 2
A22 = ( -1) 2 + 2 * 1 = 1
Respuesta:
A-1 = 1 / det A * A11 A21
A12 A22
A-1 = 1 / 4 * 3 -1
1 1
A-1 = 3/4 -1/4
1/4 1/4
Hay que verificar que se cumple la condición:   A-1 * A = E.
Vamos a usar la penúltima forma de anotación de la matriz A-1.
Esto nos permite evitar cálculos con fracciones.
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
b11 b12
b21 b22
b11 = 3 * 1 + ( -1) * ( -1) = 3 + 1 = 4
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 b12
b21 b22
b12 = 3 * 1 + ( -1) * 3 = 3 - 3 = 0
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 0
b21 b22
b21 = 1 * 1 + 1 * ( -1) = 1 - 1 = 0
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 0
0 b22
b22 = 1 * 1 + 1 * 3 = 1 + 3 = 4
3 -1
1 1
*
1 1
-1 3
=
4 0
0 4
Hay que multiplicar la matriz resultante por 1/4
1/4 * 4 0
0 4
=
1 0
0 1
= E
Por tanto, la matriz A-1 encontrada es inversa a la matriz original A.





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