Przykład znalezienia macierzy odwrotnej 2x2

Takie rozwiązanie zostało otrzymane przy użyciu kalkulatora przedstawionego na stronie.

A =		1	1
		-1	3

Napiszmy wzór na znalezienie macierzy odwrotnej:

A^-1 = 1 / det A *		A₁₁	A₂₁
		A₁₂	A₂₂

A₁₁ ... A₂₂ to liczby (uzupełnienia algebraiczne), które zostaną znalezione później.

Nie można dzielić przez zero. Dlatego jeśli det A jest równe zero, wówczas nie można znaleźć macierzy odwrotnej.

Obliczamy det A.

det A =		1	1
		-1	3

= 1 * 3 - 1 * ( -1) = 3 + 1 = 4

det A nie jest zerem. Dlatego możliwe jest znalezienie odwrotności macierzy.

Obliczamy liczby (uzupełnienia algebraiczne) A₁₁ ... A₂₂

	1	1
	-1	3

Numer wiersza 1
Numer kolumny 1

Wiersz 1 i kolumna 1
zostały przekreślone

A₁₁

( -1) ^{1 + 1}

= 3

	1	1
	-1	3

Numer wiersza 1
Numer kolumny 2

Wiersz 1 i kolumna 2
zostały przekreślone

A₁₂

( -1) ^{1 + 2}

-1

= 1

	1	1
	-1	3

Numer wiersza 2
Numer kolumny 1

Wiersz 2 i kolumna 1
zostały przekreślone

A₂₁

( -1) ^{2 + 1}

= -1

	1	1
	-1	3

Numer wiersza 2
Numer kolumny 2

Wiersz 2 i kolumna 2
zostały przekreślone

A₂₂

( -1) ^{2 + 2}

= 1

Ответ:

A^-1 = 1 / det A *		A₁₁	A₂₁
		A₁₂	A₂₂

A^-1 = 1 / 4 *		3	-1
		1	1

A^-1 =		3/4	-1/4
		1/4	1/4

Sprawdźmy odpowiedź

Konieczne jest sprawdzenie, czy spełniony jest warunek: A^-1 * A = E.

Użyjemy przedostatniej formy zapisu macierzy odwrotnej A^-1.
Pozwoli nam to uniknąć obliczeń na ułamkach.

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	b₁₁	b₁₂
	b₂₁	b₂₂

b₁₁ = 3 * 1 + ( -1) * ( -1) = 3 + 1 = 4

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	b₁₂
	b₂₁	b₂₂

b₁₂ = 3 * 1 + ( -1) * 3 = 3 - 3 = 0

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	0
	b₂₁	b₂₂

b₂₁ = 1 * 1 + 1 * ( -1) = 1 - 1 = 0

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	0
	0	b₂₂

b₂₂ = 1 * 1 + 1 * 3 = 1 + 3 = 4

	3	-1
	1	1

	1	1
	-1	3

	4	0
	0	4

Konieczne jest pomnożenie otrzymanej macierzy przez 1/4

1/4 *		4	0
		0	4

	1	0
	0	1

= E

Zatem znaleziona macierz A^-1 jest odwrotna do oryginalnej macierzy A.

Nie zapomnij wesprzeć strony linkiem.