Пример вычисления определителя матрицы 3x3

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

1. Вычислим det A используя элементарные преобразования определителя.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на -1. подробнее

1	-1 + 1 * ( -1)	-4
3	3 + 3 * ( -1)	3
-2	6 + ( -2) * ( -1)	4

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	-2	-4	=
	3	0	3
	-2	8	4

К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на -1. подробнее

1	-2	-4 + 1 * ( -1)
3	0	3 + 3 * ( -1)
-2	8	4 + ( -2) * ( -1)

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	-2	-5	=
	3	0	0
	-2	8	6

Разложим определитель по элементам строки 2. подробнее

1	-2	-5
3	0	0
-2	8	6

Номер строки 2
Номер столбца 1

Элемент

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{2 + 1}

		-2	-5
		8	6

1	-2	-5
3	0	0
-2	8	6

Номер строки 2
Номер столбца 2

Элемент

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{2 + 2}

		1	-5
		-2	6

1	-2	-5
3	0	0
-2	8	6

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		1	-2
		-2	8

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{2 + 1} * 3 *		-2	-5		=
		8	6

= - 3 *		-2	-5		=
		8	6

= - 3 * ( -2 * 6 - ( -5) * 8 ) =

= - 3 * ( -12 + 40 ) =

= -84

2. Вычислим det A используя разложение по элементам строки 1.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

Разложим определитель по элементам строки 1. подробнее

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 1
Номер столбца 1

Элемент

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{1 + 1}

		3	3
		6	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 1
Номер столбца 2

Элемент

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{1 + 2}

-1

		3	3
		-2	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

-4

		3	3
		-2	6

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 1} * 1 *		3	3
		6	4

+ ( -1) ^{1 + 2} * ( -1) *		3	3
		-2	4

+ ( -1) ^{1 + 3} * ( -4) *		3	3		=
		-2	6

=		3	3
		6	4

+		3	3
		-2	4

- 4 *		3	3		=
		-2	6

= ( 3 * 4 - 3 * 6 )

+ ( 3 * 4 - 3 * ( -2) )

- 4 * ( 3 * 6 - 3 * ( -2) ) =

= ( 12 - 18 )

+ ( 12 + 6 )

- 4 * ( 18 + 6 ) =

= -6

+ 18

- 96 =

= -84

3. Вычислим det A используя разложение по элементам строки 2.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

Разложим определитель по элементам строки 2. подробнее

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 2
Номер столбца 1

Элемент

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{2 + 1}

		-1	-4
		6	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 2
Номер столбца 2

Элемент

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{2 + 2}

		1	-4
		-2	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		1	-1
		-2	6

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{2 + 1} * 3 *		-1	-4
		6	4

+ ( -1) ^{2 + 2} * 3 *		1	-4
		-2	4

+ ( -1) ^{2 + 3} * 3 *		1	-1		=
		-2	6

= - 3 *		-1	-4
		6	4

+ 3 *		1	-4
		-2	4

- 3 *		1	-1		=
		-2	6

= - 3 * ( -1 * 4 - ( -4) * 6 )

+ 3 * ( 1 * 4 - ( -4) * ( -2) )

- 3 * ( 1 * 6 - ( -1) * ( -2) ) =

= - 3 * ( -4 + 24 )

+ 3 * ( 4 - 8 )

- 3 * ( 6 - 2 ) =

= -60

- 12

- 12 =

= -84

4. Вычислим det A используя разложение по элементам строки 3.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

-2

		-1	-4
		3	3

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		1	-4
		3	3

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		1	-1
		3	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{3 + 1} * ( -2) *		-1	-4
		3	3

+ ( -1) ^{3 + 2} * 6 *		1	-4
		3	3

+ ( -1) ^{3 + 3} * 4 *		1	-1		=
		3	3

= - 2 *		-1	-4
		3	3

- 6 *		1	-4
		3	3

+ 4 *		1	-1		=
		3	3

= - 2 * ( -1 * 3 - ( -4) * 3 )

- 6 * ( 1 * 3 - ( -4) * 3 )

+ 4 * ( 1 * 3 - ( -1) * 3 ) =

= - 2 * ( -3 + 12 )

- 6 * ( 3 + 12 )

+ 4 * ( 3 + 3 ) =

= -18

- 90

+ 24 =

= -84

5. Вычислим det A используя разложение по элементам столбца 1.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

Разложим определитель по элементам столбца 1. подробнее

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 1
Номер столбца 1

Элемент

Строку 1 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{1 + 1}

		3	3
		6	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 2
Номер столбца 1

Элемент

Строку 2 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{2 + 1}

		-1	-4
		6	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

-2

		-1	-4
		3	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 1} * 1 *		3	3
		6	4

+ ( -1) ^{2 + 1} * 3 *		-1	-4
		6	4

+ ( -1) ^{3 + 1} * ( -2) *		-1	-4		=
		3	3

=		3	3
		6	4

- 3 *		-1	-4
		6	4

- 2 *		-1	-4		=
		3	3

= ( 3 * 4 - 3 * 6 )

- 3 * ( -1 * 4 - ( -4) * 6 )

- 2 * ( -1 * 3 - ( -4) * 3 ) =

= ( 12 - 18 )

- 3 * ( -4 + 24 )

- 2 * ( -3 + 12 ) =

= -6

- 60

- 18 =

= -84

6. Вычислим det A используя разложение по элементам столбца 2.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

Разложим определитель по элементам столбца 2. подробнее

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 1
Номер столбца 2

Элемент

Строку 1 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{1 + 2}

-1

		3	3
		-2	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 2
Номер столбца 2

Элемент

Строку 2 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{2 + 2}

		1	-4
		-2	4

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		1	-4
		3	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 2} * ( -1) *		3	3
		-2	4

+ ( -1) ^{2 + 2} * 3 *		1	-4
		-2	4

+ ( -1) ^{3 + 2} * 6 *		1	-4		=
		3	3

=		3	3
		-2	4

+ 3 *		1	-4
		-2	4

- 6 *		1	-4		=
		3	3

= ( 3 * 4 - 3 * ( -2) )

+ 3 * ( 1 * 4 - ( -4) * ( -2) )

- 6 * ( 1 * 3 - ( -4) * 3 ) =

= ( 12 + 6 )

+ 3 * ( 4 - 8 )

- 6 * ( 3 + 12 ) =

= 18

- 12

- 90 =

= -84

7. Вычислим det A используя разложение по элементам столбца 3.

det A =	1	-1	-4	=
	3	3	3
	-2	6	4

Разложим определитель по элементам столбца 3. подробнее

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

-4

		3	3
		-2	6

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		1	-1
		-2	6

1	-1	-4
3	3	3
-2	6	4

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		1	-1
		3	3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 3} * ( -4) *		3	3
		-2	6

+ ( -1) ^{2 + 3} * 3 *		1	-1
		-2	6

+ ( -1) ^{3 + 3} * 4 *		1	-1		=
		3	3

= - 4 *		3	3
		-2	6

- 3 *		1	-1
		-2	6

+ 4 *		1	-1		=
		3	3

= - 4 * ( 3 * 6 - 3 * ( -2) )

- 3 * ( 1 * 6 - ( -1) * ( -2) )

+ 4 * ( 1 * 3 - ( -1) * 3 ) =

= - 4 * ( 18 + 6 )

- 3 * ( 6 - 2 )

+ 4 * ( 3 + 3 ) =

= -96

- 12

+ 24 =

= -84

Пожалуйста, не забудьте поддержать сайт ссылкой.