Przykład obliczenia wyznacznika macierzy 3x3
Takie rozwiązanie zostało otrzymane przy użyciu kalkulatora przedstawionego na stronie.
1. Obliczamy det A, wykorzystując przekształcenia elementarne wyznacznika.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Do elementów kolumny 2 dodajemy odpowiednie elementy kolumny 1 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej
| 1 | -1 + 1 * ( -1) | -4 | ||
| 3 | 3 + 3 * ( -1) | 3 | ||
| -2 | 6 + ( -2) * ( -1) | 4 |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | 1 | -2 | -4 | = | ||
| 3 | 0 | 3 | ||||
| -2 | 8 | 4 |
Do elementów kolumny 3 dodajemy odpowiednie elementy kolumny 1 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej
| 1 | -2 | -4 + 1 * ( -1) | ||
| 3 | 0 | 3 + 3 * ( -1) | ||
| -2 | 8 | 4 + ( -2) * ( -1) |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | 1 | -2 | -5 | = | ||
| 3 | 0 | 0 | ||||
| -2 | 8 | 6 |
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 2. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 1 | * | 3 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 3 | * | 0 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 2 + 1 * 3 * | -2 | -5 | = | ||
| 8 | 6 |
| = - 3 * | -2 | -5 | = | ||
| 8 | 6 |
= - 3 * ( -2 * 6 - ( -5) * 8 ) =
= - 3 * ( -12 + 40 ) =
= -84
2. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem wiersza 1.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 1. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 1 | * | 1 | * |
|
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 2 | * | -1 | * |
|
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 3 | * | -4 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 1 + 1 * 1 * | 3 | 3 | |||
| 6 | 4 |
| + ( -1) 1 + 2 * ( -1) * | 3 | 3 | |||
| -2 | 4 |
| + ( -1) 1 + 3 * ( -4) * | 3 | 3 | = | ||
| -2 | 6 |
| = | 3 | 3 | |||
| 6 | 4 |
| + | 3 | 3 | |||
| -2 | 4 |
| - 4 * | 3 | 3 | = | ||
| -2 | 6 |
= ( 3 * 4 - 3 * 6 )
+ ( 3 * 4 - 3 * ( -2) )
- 4 * ( 3 * 6 - 3 * ( -2) ) =
= ( 12 - 18 )
+ ( 12 + 6 )
- 4 * ( 18 + 6 ) =
= -6
+ 18
- 96 =
= -84
3. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem wiersza 2.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 2. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 1 | * | 3 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 2 | * | 3 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 3 | * | 3 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 2 + 1 * 3 * | -1 | -4 | |||
| 6 | 4 |
| + ( -1) 2 + 2 * 3 * | 1 | -4 | |||
| -2 | 4 |
| + ( -1) 2 + 3 * 3 * | 1 | -1 | = | ||
| -2 | 6 |
| = - 3 * | -1 | -4 | |||
| 6 | 4 |
| + 3 * | 1 | -4 | |||
| -2 | 4 |
| - 3 * | 1 | -1 | = | ||
| -2 | 6 |
= - 3 * ( -1 * 4 - ( -4) * 6 )
+ 3 * ( 1 * 4 - ( -4) * ( -2) )
- 3 * ( 1 * 6 - ( -1) * ( -2) ) =
= - 3 * ( -4 + 24 )
+ 3 * ( 4 - 8 )
- 3 * ( 6 - 2 ) =
= -60
- 12
- 12 =
= -84
4. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem wiersza 3.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 3. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | -2 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 6 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 4 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 3 + 1 * ( -2) * | -1 | -4 | |||
| 3 | 3 |
| + ( -1) 3 + 2 * 6 * | 1 | -4 | |||
| 3 | 3 |
| + ( -1) 3 + 3 * 4 * | 1 | -1 | = | ||
| 3 | 3 |
| = - 2 * | -1 | -4 | |||
| 3 | 3 |
| - 6 * | 1 | -4 | |||
| 3 | 3 |
| + 4 * | 1 | -1 | = | ||
| 3 | 3 |
= - 2 * ( -1 * 3 - ( -4) * 3 )
- 6 * ( 1 * 3 - ( -4) * 3 )
+ 4 * ( 1 * 3 - ( -1) * 3 ) =
= - 2 * ( -3 + 12 )
- 6 * ( 3 + 12 )
+ 4 * ( 3 + 3 ) =
= -18
- 90
+ 24 =
= -84
5. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem kolumny 1.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 1. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 1 | * | 1 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 1 | * | 3 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | -2 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 1 + 1 * 1 * | 3 | 3 | |||
| 6 | 4 |
| + ( -1) 2 + 1 * 3 * | -1 | -4 | |||
| 6 | 4 |
| + ( -1) 3 + 1 * ( -2) * | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 |
| = | 3 | 3 | |||
| 6 | 4 |
| - 3 * | -1 | -4 | |||
| 6 | 4 |
| - 2 * | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 |
= ( 3 * 4 - 3 * 6 )
- 3 * ( -1 * 4 - ( -4) * 6 )
- 2 * ( -1 * 3 - ( -4) * 3 ) =
= ( 12 - 18 )
- 3 * ( -4 + 24 )
- 2 * ( -3 + 12 ) =
= -6
- 60
- 18 =
= -84
6. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem kolumny 2.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 2. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 2 | * | -1 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 2 | * | 3 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 6 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 1 + 2 * ( -1) * | 3 | 3 | |||
| -2 | 4 |
| + ( -1) 2 + 2 * 3 * | 1 | -4 | |||
| -2 | 4 |
| + ( -1) 3 + 2 * 6 * | 1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 |
| = | 3 | 3 | |||
| -2 | 4 |
| + 3 * | 1 | -4 | |||
| -2 | 4 |
| - 6 * | 1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 |
= ( 3 * 4 - 3 * ( -2) )
+ 3 * ( 1 * 4 - ( -4) * ( -2) )
- 6 * ( 1 * 3 - ( -4) * 3 ) =
= ( 12 + 6 )
+ 3 * ( 4 - 8 )
- 6 * ( 3 + 12 ) =
= 18
- 12
- 90 =
= -84
7. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem kolumny 3.
| det A = | 1 | -1 | -4 | = | ||
| 3 | 3 | 3 | ||||
| -2 | 6 | 4 |
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 3. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 3 | * | -4 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 3 | * | 3 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 4 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 1 + 3 * ( -4) * | 3 | 3 | |||
| -2 | 6 |
| + ( -1) 2 + 3 * 3 * | 1 | -1 | |||
| -2 | 6 |
| + ( -1) 3 + 3 * 4 * | 1 | -1 | = | ||
| 3 | 3 |
| = - 4 * | 3 | 3 | |||
| -2 | 6 |
| - 3 * | 1 | -1 | |||
| -2 | 6 |
| + 4 * | 1 | -1 | = | ||
| 3 | 3 |
= - 4 * ( 3 * 6 - 3 * ( -2) )
- 3 * ( 1 * 6 - ( -1) * ( -2) )
+ 4 * ( 1 * 3 - ( -1) * 3 ) =
= - 4 * ( 18 + 6 )
- 3 * ( 6 - 2 )
+ 4 * ( 3 + 3 ) =
= -96
- 12
+ 24 =
= -84