Пример решения системы линейных уравнений методом Крамера.

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Решим систему линейных уравнений, используя метод Крамера.
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
Запишем формулы Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то использовать формулы Крамера невозможно.
Вычислим det A.   подробнее
det A состоит из коэффициентов левой части системы уравнений.
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
det A = -2 1 1 =
-1 1 2
3 1 1
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1.   подробнее
-2 1 1
-1 1 2
3 + ( -2) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) 1 + 1 * ( -1)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= -2 1 1 =
-1 1 2
5 0 0
Разложим определитель по элементам строки 3.   подробнее
-2 1 1
-1 1 2
5 0 0
Номер строки 3
Номер столбца 1
Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 3 + 1 * 5 *
1 1
1 2
-2 1 1
-1 1 2
5 0 0
Номер строки 3
Номер столбца 2
Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 3 + 2 * 0 *
-2 1
-1 2
-2 1 1
-1 1 2
5 0 0
Номер строки 3
Номер столбца 3
Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 3 + 3 * 0 *
-2 1
-1 1
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 3 + 1 * 5 * 1 1 =
1 2
= 5 * 1 1 =
1 2
= 5 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 5 * ( 2 - 1 ) =
= 5
det A не равен нулю. Использование формул Крамера возможно.
Вычислим det A1   подробнее
Необходимо заменить столбец 1 в det A на столбец свободных членов системы.
Система det A det A1
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
-2 1 1
-1 1 2
3 1 1
-13 1 1
-9 1 2
12 1 1
det A1 = -13 1 1 =
-9 1 2
12 1 1
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1.   подробнее
-13 1 1
-9 1 2
12 + ( -13) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) 1 + 1 * ( -1)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= -13 1 1 =
-9 1 2
25 0 0
Разложим определитель по элементам строки 3.   подробнее
-13 1 1
-9 1 2
25 0 0
Номер строки 3
Номер столбца 1
Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 3 + 1 * 25 *
1 1
1 2
-13 1 1
-9 1 2
25 0 0
Номер строки 3
Номер столбца 2
Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 3 + 2 * 0 *
-13 1
-9 2
-13 1 1
-9 1 2
25 0 0
Номер строки 3
Номер столбца 3
Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 3 + 3 * 0 *
-13 1
-9 1
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 3 + 1 * 25 * 1 1 =
1 2
= 25 * 1 1 =
1 2
= 25 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 25 * ( 2 - 1 ) =
= 25
Вычислим det A2   подробнее
Необходимо заменить столбец 2 в det A на столбец свободных членов системы.
Система det A det A2
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
-2 1 1
-1 1 2
3 1 1
-2 -13 1
-1 -9 2
3 12 1
det A2 = -2 -13 1 =
-1 -9 2
3 12 1
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1.   подробнее
-2 -13 1
-1 -9 2
3 + ( -2) 12 + ( -13) 1 + 1
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= -2 -13 1 =
-1 -9 2
1 -1 2
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.   подробнее
-2 + 1 * 2 -13 + ( -1) * 2 1 + 2 * 2
-1 -9 2
1 -1 2
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 0 -15 5 =
-1 -9 2
1 -1 2
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3.   подробнее
0 -15 5
-1 + 1 -9 + ( -1) 2 + 2
1 -1 2
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 0 -15 5 =
0 -10 4
1 -1 2
Разложим определитель по элементам столбца 1.   подробнее
0 -15 5
0 -10 4
1 -1 2
Номер строки 1
Номер столбца 1
Элемент Строку 1 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 1 + 1 * 0 *
-10 4
-1 2
0 -15 5
0 -10 4
1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 1
Элемент Строку 2 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 2 + 1 * 0 *
-15 5
-1 2
0 -15 5
0 -10 4
1 -1 2
Номер строки 3
Номер столбца 1
Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 3 + 1 * 1 *
-15 5
-10 4
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 3 + 1 * 1 * -15 5 =
-10 4
= -15 5 =
-10 4
= -15 * 4 - 5 * ( -10) =
= -60 + 50 =
= -10
Вычислим det A3   подробнее
Необходимо заменить столбец 3 в det A на столбец свободных членов системы.
Система det A det A3
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
-2 1 1
-1 1 2
3 1 1
-2 1 -13
-1 1 -9
3 1 12
det A3 = -2 1 -13 =
-1 1 -9
3 1 12
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.   подробнее
-2 + ( -1) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) -13 + ( -9) * ( -1)
-1 1 -9
3 1 12
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= -1 0 -4 =
-1 1 -9
3 1 12
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.   подробнее
-1 0 -4
-1 1 -9
3 + ( -1) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) 12 + ( -9) * ( -1)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= -1 0 -4 =
-1 1 -9
4 0 21
Разложим определитель по элементам столбца 2.   подробнее
-1 0 -4
-1 1 -9
4 0 21
Номер строки 1
Номер столбца 2
Элемент Строку 1 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 1 + 2 * 0 *
-1 -9
4 21
-1 0 -4
-1 1 -9
4 0 21
Номер строки 2
Номер столбца 2
Элемент Строку 2 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 2 + 2 * 1 *
-1 -4
4 21
-1 0 -4
-1 1 -9
4 0 21
Номер строки 3
Номер столбца 2
Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 3 + 2 * 0 *
-1 -4
-1 -9
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 2 + 2 * 1 * -1 -4 =
4 21
= -1 -4 =
4 21
= -1 * 21 - ( -4) * 4 =
= -21 + 16 =
= -5
Ответ:
x1 = det A1 / det A = 25/5 = 5
x2 = det A2 / det A = -10/5 = -2
x3 = det A3 / det A = -5/5 = -1





2021 All rights reserved
matematika1974@yandex.ru
site partners