Пример решения системы линейных уравнений методом Крамера.
Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Решим систему линейных уравнений, используя метод Крамера.
 | - | 2 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | -13 | ||
| - | x1 | + | x2 | + | 2 | x3 | = | -9 | |||
| 3 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | 12 |
Запишем формулы Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то использовать формулы Крамера невозможно.
Вычислим det A. подробнее
det A состоит из коэффициентов левой части системы уравнений.
| | - | 2 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | -13 | ||
| - | x1 | + | x2 | + | 2 | x3 | = | -9 | |||
| 3 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | 12 |
| det A = | -2 | 1 | 1 | = | ||
| -1 | 1 | 2 | ||||
| 3 | 1 | 1 |
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1. подробнее
| -2 | 1 | 1 | ||
| -1 | 1 | 2 | ||
| 3 + ( -2) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | -2 | 1 | 1 | = | ||
| -1 | 1 | 2 | ||||
| 5 | 0 | 0 |
Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее
|
Номер строки 3 Номер столбца 1 |
Элемент | Строку 3 и столбец 1 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 5 | * |
|
|
Номер строки 3 Номер столбца 2 |
Элемент | Строку 3 и столбец 2 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Номер строки 3 Номер столбца 3 |
Элемент | Строку 3 и столбец 3 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 0 | * |
|
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
| = ( -1) 3 + 1 * 5 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
| = 5 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
= 5 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 5 * ( 2 - 1 ) =
= 5
det A не равен нулю. Использование формул Крамера возможно.
Вычислим det A1 подробнее
Необходимо заменить столбец 1 в det A на столбец свободных членов системы.
| Система | det A | det A1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A1 = | -13 | 1 | 1 | = | ||
| -9 | 1 | 2 | ||||
| 12 | 1 | 1 |
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1. подробнее
| -13 | 1 | 1 | ||
| -9 | 1 | 2 | ||
| 12 + ( -13) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | -13 | 1 | 1 | = | ||
| -9 | 1 | 2 | ||||
| 25 | 0 | 0 |
Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее
|
Номер строки 3 Номер столбца 1 |
Элемент | Строку 3 и столбец 1 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 25 | * |
|
|
Номер строки 3 Номер столбца 2 |
Элемент | Строку 3 и столбец 2 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Номер строки 3 Номер столбца 3 |
Элемент | Строку 3 и столбец 3 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 0 | * |
|
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
| = ( -1) 3 + 1 * 25 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
| = 25 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
= 25 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 25 * ( 2 - 1 ) =
= 25
Вычислим det A2 подробнее
Необходимо заменить столбец 2 в det A на столбец свободных членов системы.
| Система | det A | det A2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A2 = | -2 | -13 | 1 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 3 | 12 | 1 |
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1. подробнее
| -2 | -13 | 1 | ||
| -1 | -9 | 2 | ||
| 3 + ( -2) | 12 + ( -13) | 1 + 1 |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | -2 | -13 | 1 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. подробнее
| -2 + 1 * 2 | -13 + ( -1) * 2 | 1 + 2 * 2 | ||
| -1 | -9 | 2 | ||
| 1 | -1 | 2 |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | 0 | -15 | 5 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3. подробнее
| 0 | -15 | 5 | ||
| -1 + 1 | -9 + ( -1) | 2 + 2 | ||
| 1 | -1 | 2 |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | 0 | -15 | 5 | = | ||
| 0 | -10 | 4 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
Разложим определитель по элементам столбца 1. подробнее
|
Номер строки 1 Номер столбца 1 |
Элемент | Строку 1 и столбец 1 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 1 | * | 0 | * |
|
|
Номер строки 2 Номер столбца 1 |
Элемент | Строку 2 и столбец 1 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 1 | * | 0 | * |
|
|
Номер строки 3 Номер столбца 1 |
Элемент | Строку 3 и столбец 1 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 1 | * |
|
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
| = ( -1) 3 + 1 * 1 * | -15 | 5 | = | ||
| -10 | 4 |
| = | -15 | 5 | = | ||
| -10 | 4 |
= -15 * 4 - 5 * ( -10) =
= -60 + 50 =
= -10
Вычислим det A3 подробнее
Необходимо заменить столбец 3 в det A на столбец свободных членов системы.
| Система | det A | det A3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A3 = | -2 | 1 | -13 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 3 | 1 | 12 |
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1. подробнее
| -2 + ( -1) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | -13 + ( -9) * ( -1) | ||
| -1 | 1 | -9 | ||
| 3 | 1 | 12 |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | -1 | 0 | -4 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 3 | 1 | 12 |
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1. подробнее
| -1 | 0 | -4 | ||
| -1 | 1 | -9 | ||
| 3 + ( -1) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 12 + ( -9) * ( -1) |
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
| = | -1 | 0 | -4 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 4 | 0 | 21 |
Разложим определитель по элементам столбца 2. подробнее
|
Номер строки 1 Номер столбца 2 |
Элемент | Строку 1 и столбец 2 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Номер строки 2 Номер столбца 2 |
Элемент | Строку 2 и столбец 2 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 2 | * | 1 | * |
|
|
Номер строки 3 Номер столбца 2 |
Элемент | Строку 3 и столбец 2 вычеркнули |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
| = ( -1) 2 + 2 * 1 * | -1 | -4 | = | ||
| 4 | 21 |
| = | -1 | -4 | = | ||
| 4 | 21 |
= -1 * 21 - ( -4) * 4 =
= -21 + 16 =
= -5
Ответ:
x1 = det A1 / det A = 25/5 = 5
x2 = det A2 / det A = -10/5 = -2
x3 = det A3 / det A = -5/5 = -1