Przykład rozwiązania układu równań liniowych metodą Cramera.

Takie rozwiązanie zostało otrzymane przy użyciu kalkulatora przedstawionego na stronie.

Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
Napiszmy wzory Cramera:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Nie można dzielić przez zero. Dlatego jeśli det A jest równe zero, nie można użyć wzorów Cramera.
Obliczamy det A.   dowiedz się więcej
det A składa się ze współczynników po lewej stronie układu równań.
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
det A = -2 1 1 =
-1 1 2
3 1 1
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 1 pomnożone przez -1.   dowiedz się więcej
-2 1 1
-1 1 2
3 + ( -2) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) 1 + 1 * ( -1)
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= -2 1 1 =
-1 1 2
5 0 0
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 3.   dowiedz się więcej
-2 1 1
-1 1 2
5 0 0
Numer wiersza 3
Numer kolumny 1
Element Wiersz 3 i kolumna 1
zostały przekreślone
( -1) 3 + 1 * 5 *
1 1
1 2
-2 1 1
-1 1 2
5 0 0
Numer wiersza 3
Numer kolumny 2
Element Wiersz 3 i kolumna 2
zostały przekreślone
( -1) 3 + 2 * 0 *
-2 1
-1 2
-2 1 1
-1 1 2
5 0 0
Numer wiersza 3
Numer kolumny 3
Element Wiersz 3 i kolumna 3
zostały przekreślone
( -1) 3 + 3 * 0 *
-2 1
-1 1
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
= ( -1) 3 + 1 * 5 * 1 1 =
1 2
= 5 * 1 1 =
1 2
= 5 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 5 * ( 2 - 1 ) =
= 5
det A nie jest zerem. Korzystanie ze wzorów Cramera jest możliwe.
Obliczamy det A1   dowiedz się więcej
Konieczne jest zastąpienie kolumny 1 w det A kolumną po prawej stronie układu równań.
Układ równań det A det A1
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
-2 1 1
-1 1 2
3 1 1
-13 1 1
-9 1 2
12 1 1
det A1 = -13 1 1 =
-9 1 2
12 1 1
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 1 pomnożone przez -1.   dowiedz się więcej
-13 1 1
-9 1 2
12 + ( -13) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) 1 + 1 * ( -1)
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= -13 1 1 =
-9 1 2
25 0 0
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 3.   dowiedz się więcej
-13 1 1
-9 1 2
25 0 0
Numer wiersza 3
Numer kolumny 1
Element Wiersz 3 i kolumna 1
zostały przekreślone
( -1) 3 + 1 * 25 *
1 1
1 2
-13 1 1
-9 1 2
25 0 0
Numer wiersza 3
Numer kolumny 2
Element Wiersz 3 i kolumna 2
zostały przekreślone
( -1) 3 + 2 * 0 *
-13 1
-9 2
-13 1 1
-9 1 2
25 0 0
Numer wiersza 3
Numer kolumny 3
Element Wiersz 3 i kolumna 3
zostały przekreślone
( -1) 3 + 3 * 0 *
-13 1
-9 1
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
= ( -1) 3 + 1 * 25 * 1 1 =
1 2
= 25 * 1 1 =
1 2
= 25 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 25 * ( 2 - 1 ) =
= 25
Obliczamy det A2   dowiedz się więcej
Konieczne jest zastąpienie kolumny 2 w det A kolumną po prawej stronie układu równań.
Układ równań det A det A2
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
-2 1 1
-1 1 2
3 1 1
-2 -13 1
-1 -9 2
3 12 1
det A2 = -2 -13 1 =
-1 -9 2
3 12 1
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 1 .   dowiedz się więcej
-2 -13 1
-1 -9 2
3 + ( -2) 12 + ( -13) 1 + 1
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= -2 -13 1 =
-1 -9 2
1 -1 2
Do elementów wiersza 1 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 3 pomnożone przez 2.   dowiedz się więcej
-2 + 1 * 2 -13 + ( -1) * 2 1 + 2 * 2
-1 -9 2
1 -1 2
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= 0 -15 5 =
-1 -9 2
1 -1 2
Do elementów wiersza 2 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 3 .   dowiedz się więcej
0 -15 5
-1 + 1 -9 + ( -1) 2 + 2
1 -1 2
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= 0 -15 5 =
0 -10 4
1 -1 2
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 1.   dowiedz się więcej
0 -15 5
0 -10 4
1 -1 2
Numer wiersza 1
Numer kolumny 1
Element Wiersz 1 i kolumna 1
zostały przekreślone
( -1) 1 + 1 * 0 *
-10 4
-1 2
0 -15 5
0 -10 4
1 -1 2
Numer wiersza 2
Numer kolumny 1
Element Wiersz 2 i kolumna 1
zostały przekreślone
( -1) 2 + 1 * 0 *
-15 5
-1 2
0 -15 5
0 -10 4
1 -1 2
Numer wiersza 3
Numer kolumny 1
Element Wiersz 3 i kolumna 1
zostały przekreślone
( -1) 3 + 1 * 1 *
-15 5
-10 4
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
= ( -1) 3 + 1 * 1 * -15 5 =
-10 4
= -15 5 =
-10 4
= -15 * 4 - 5 * ( -10) =
= -60 + 50 =
= -10
Obliczamy det A3   dowiedz się więcej
Konieczne jest zastąpienie kolumny 3 w det A kolumną po prawej stronie układu równań.
Układ równań det A det A3
Знак системы-2 x1+x2+x3 = -13
-x1+x2+2x3 = -9
3x1+x2+x3 = 12
-2 1 1
-1 1 2
3 1 1
-2 1 -13
-1 1 -9
3 1 12
det A3 = -2 1 -13 =
-1 1 -9
3 1 12
Do elementów wiersza 1 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 2 pomnożone przez -1.   dowiedz się więcej
-2 + ( -1) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) -13 + ( -9) * ( -1)
-1 1 -9
3 1 12
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= -1 0 -4 =
-1 1 -9
3 1 12
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 2 pomnożone przez -1.   dowiedz się więcej
-1 0 -4
-1 1 -9
3 + ( -1) * ( -1) 1 + 1 * ( -1) 12 + ( -9) * ( -1)
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
= -1 0 -4 =
-1 1 -9
4 0 21
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 2.   dowiedz się więcej
-1 0 -4
-1 1 -9
4 0 21
Numer wiersza 1
Numer kolumny 2
Element Wiersz 1 i kolumna 2
zostały przekreślone
( -1) 1 + 2 * 0 *
-1 -9
4 21
-1 0 -4
-1 1 -9
4 0 21
Numer wiersza 2
Numer kolumny 2
Element Wiersz 2 i kolumna 2
zostały przekreślone
( -1) 2 + 2 * 1 *
-1 -4
4 21
-1 0 -4
-1 1 -9
4 0 21
Numer wiersza 3
Numer kolumny 2
Element Wiersz 3 i kolumna 2
zostały przekreślone
( -1) 3 + 2 * 0 *
-1 -4
-1 -9
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
= ( -1) 2 + 2 * 1 * -1 -4 =
4 21
= -1 -4 =
4 21
= -1 * 21 - ( -4) * 4 =
= -21 + 16 =
= -5
Odpowiedź:
x1 = det A1 / det A = 25/5 = 5
x2 = det A2 / det A = -10/5 = -2
x3 = det A3 / det A = -5/5 = -1





2021 All rights reserved
matematika1974@yandex.ru
site partners