Przykład rozwiązania układu równań liniowych metodą Cramera.
Takie rozwiązanie zostało otrzymane przy użyciu kalkulatora przedstawionego na stronie.
 | - | 2 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | -13 | ||
| - | x1 | + | x2 | + | 2 | x3 | = | -9 | |||
| 3 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | 12 |
Napiszmy wzory Cramera:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Nie można dzielić przez zero. Dlatego jeśli det A jest równe zero, nie można użyć wzorów Cramera.
Obliczamy det A. dowiedz się więcej
det A składa się ze współczynników po lewej stronie układu równań.
| | - | 2 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | -13 | ||
| - | x1 | + | x2 | + | 2 | x3 | = | -9 | |||
| 3 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | 12 |
| det A = | -2 | 1 | 1 | = | ||
| -1 | 1 | 2 | ||||
| 3 | 1 | 1 |
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 1 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej
| -2 | 1 | 1 | ||
| -1 | 1 | 2 | ||
| 3 + ( -2) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | -2 | 1 | 1 | = | ||
| -1 | 1 | 2 | ||||
| 5 | 0 | 0 |
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 3. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 5 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 0 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 3 + 1 * 5 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
| = 5 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
= 5 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 5 * ( 2 - 1 ) =
= 5
det A nie jest zerem. Korzystanie ze wzorów Cramera jest możliwe.
Obliczamy det A1 dowiedz się więcej
Konieczne jest zastąpienie kolumny 1 w det A kolumną po prawej stronie układu równań.
| Układ równań | det A | det A1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A1 = | -13 | 1 | 1 | = | ||
| -9 | 1 | 2 | ||||
| 12 | 1 | 1 |
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 1 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej
| -13 | 1 | 1 | ||
| -9 | 1 | 2 | ||
| 12 + ( -13) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | -13 | 1 | 1 | = | ||
| -9 | 1 | 2 | ||||
| 25 | 0 | 0 |
Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 3. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 25 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 3 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 3 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 0 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 3 + 1 * 25 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
| = 25 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
= 25 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 25 * ( 2 - 1 ) =
= 25
Obliczamy det A2 dowiedz się więcej
Konieczne jest zastąpienie kolumny 2 w det A kolumną po prawej stronie układu równań.
| Układ równań | det A | det A2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A2 = | -2 | -13 | 1 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 3 | 12 | 1 |
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 1 . dowiedz się więcej
| -2 | -13 | 1 | ||
| -1 | -9 | 2 | ||
| 3 + ( -2) | 12 + ( -13) | 1 + 1 |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | -2 | -13 | 1 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
Do elementów wiersza 1 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 3 pomnożone przez 2. dowiedz się więcej
| -2 + 1 * 2 | -13 + ( -1) * 2 | 1 + 2 * 2 | ||
| -1 | -9 | 2 | ||
| 1 | -1 | 2 |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | 0 | -15 | 5 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
Do elementów wiersza 2 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 3 . dowiedz się więcej
| 0 | -15 | 5 | ||
| -1 + 1 | -9 + ( -1) | 2 + 2 | ||
| 1 | -1 | 2 |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | 0 | -15 | 5 | = | ||
| 0 | -10 | 4 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 1. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 1 | * | 0 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 1 | * | 0 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 1 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 1 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 1 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 3 + 1 * 1 * | -15 | 5 | = | ||
| -10 | 4 |
| = | -15 | 5 | = | ||
| -10 | 4 |
= -15 * 4 - 5 * ( -10) =
= -60 + 50 =
= -10
Obliczamy det A3 dowiedz się więcej
Konieczne jest zastąpienie kolumny 3 w det A kolumną po prawej stronie układu równań.
| Układ równań | det A | det A3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A3 = | -2 | 1 | -13 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 3 | 1 | 12 |
Do elementów wiersza 1 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 2 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej
| -2 + ( -1) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | -13 + ( -9) * ( -1) | ||
| -1 | 1 | -9 | ||
| 3 | 1 | 12 |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | -1 | 0 | -4 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 3 | 1 | 12 |
Do elementów wiersza 3 dodajemy odpowiednie elementy wiersza 2 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej
| -1 | 0 | -4 | ||
| -1 | 1 | -9 | ||
| 3 + ( -1) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 12 + ( -9) * ( -1) |
To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.
| = | -1 | 0 | -4 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 4 | 0 | 21 |
Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 2. dowiedz się więcej
|
Numer wiersza 1 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 1 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Numer wiersza 2 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 2 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 2 | * | 1 | * |
|
|
Numer wiersza 3 Numer kolumny 2 |
Element | Wiersz 3 i kolumna 2 zostały przekreślone |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.
| = ( -1) 2 + 2 * 1 * | -1 | -4 | = | ||
| 4 | 21 |
| = | -1 | -4 | = | ||
| 4 | 21 |
= -1 * 21 - ( -4) * 4 =
= -21 + 16 =
= -5
Odpowiedź:
x1 = det A1 / det A = 25/5 = 5
x2 = det A2 / det A = -10/5 = -2
x3 = det A3 / det A = -5/5 = -1