El ejemplo de solución del sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer.
Esta solución está hecha en la calculadora presentada en el sitio web.
 | - | 2 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | -13 | ||
| - | x1 | + | x2 | + | 2 | x3 | = | -9 | |||
| 3 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | 12 |
Anotamos las fórmulas de Cramer:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
No se puede dividir por cero. Por tanto, si det A es igual a cero, entonces es imposible usar las fórmulas de Cramer.
Calculamos det A. más información
det A está compuesta de los coeficientes de la parte izquierda del sistema de ecuaciones.
| | - | 2 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | -13 | ||
| - | x1 | + | x2 | + | 2 | x3 | = | -9 | |||
| 3 | x1 | + | x2 | + | x3 | = | 12 |
| det A = | -2 | 1 | 1 | = | ||
| -1 | 1 | 2 | ||||
| 3 | 1 | 1 |
A los elementos de la fila 3 sumamos los correspondientes elementos de la fila 1 multiplicados por -1. más información
| -2 | 1 | 1 | ||
| -1 | 1 | 2 | ||
| 3 + ( -2) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | -2 | 1 | 1 | = | ||
| -1 | 1 | 2 | ||||
| 5 | 0 | 0 |
Desarrollamos el determinante por los elementos de la fila 3. más información
|
Número de fila 3 Número de columna 1 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 1 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 5 | * |
|
|
Número de fila 3 Número de columna 2 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 2 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Número de fila 3 Número de columna 3 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 3 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 0 | * |
|
Las multiplicaciones se suman. Si el elemento es igual a cero, entonces la multiplicación también es igual a cero.
| = ( -1) 3 + 1 * 5 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
| = 5 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
= 5 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 5 * ( 2 - 1 ) =
= 5
det A no es igual a cero. Es posible usar las fórmulas de Cramer.
Calculamos det A1 más información
Hay que reemplazar la columna 1 en det A por la columna de la parte derecha del sistema de ecuaciones.
| Sistema de ecuaciones | det A | det A1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A1 = | -13 | 1 | 1 | = | ||
| -9 | 1 | 2 | ||||
| 12 | 1 | 1 |
A los elementos de la fila 3 sumamos los correspondientes elementos de la fila 1 multiplicados por -1. más información
| -13 | 1 | 1 | ||
| -9 | 1 | 2 | ||
| 12 + ( -13) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | -13 | 1 | 1 | = | ||
| -9 | 1 | 2 | ||||
| 25 | 0 | 0 |
Desarrollamos el determinante por los elementos de la fila 3. más información
|
Número de fila 3 Número de columna 1 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 1 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 25 | * |
|
|
Número de fila 3 Número de columna 2 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 2 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Número de fila 3 Número de columna 3 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 3 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 3 | * | 0 | * |
|
Las multiplicaciones se suman. Si el elemento es igual a cero, entonces la multiplicación también es igual a cero.
| = ( -1) 3 + 1 * 25 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
| = 25 * | 1 | 1 | = | ||
| 1 | 2 |
= 25 * ( 1 * 2 - 1 * 1 ) =
= 25 * ( 2 - 1 ) =
= 25
Calculamos det A2 más información
Hay que reemplazar la columna 2 en det A por la columna de la parte derecha del sistema de ecuaciones.
| Sistema de ecuaciones | det A | det A2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A2 = | -2 | -13 | 1 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 3 | 12 | 1 |
A los elementos de la fila 3 sumamos los correspondientes elementos de la fila 1. más información
| -2 | -13 | 1 | ||
| -1 | -9 | 2 | ||
| 3 + ( -2) | 12 + ( -13) | 1 + 1 |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | -2 | -13 | 1 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
A los elementos de la fila 1 sumamos los correspondientes elementos de la fila 3 multiplicados por 2. más información
| -2 + 1 * 2 | -13 + ( -1) * 2 | 1 + 2 * 2 | ||
| -1 | -9 | 2 | ||
| 1 | -1 | 2 |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | 0 | -15 | 5 | = | ||
| -1 | -9 | 2 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
A los elementos de la fila 2 sumamos los correspondientes elementos de la fila 3. más información
| 0 | -15 | 5 | ||
| -1 + 1 | -9 + ( -1) | 2 + 2 | ||
| 1 | -1 | 2 |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | 0 | -15 | 5 | = | ||
| 0 | -10 | 4 | ||||
| 1 | -1 | 2 |
Desarrollamos el determinante por los elementos de la columna 1. más información
|
Número de fila 1 Número de columna 1 |
Elemento | Se excluyeron la fila 1 y la columna 1 |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 1 | * | 0 | * |
|
|
Número de fila 2 Número de columna 1 |
Elemento | Se excluyeron la fila 2 y la columna 1 |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 1 | * | 0 | * |
|
|
Número de fila 3 Número de columna 1 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 1 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 1 | * | 1 | * |
|
Las multiplicaciones se suman. Si el elemento es igual a cero, entonces la multiplicación también es igual a cero.
| = ( -1) 3 + 1 * 1 * | -15 | 5 | = | ||
| -10 | 4 |
| = | -15 | 5 | = | ||
| -10 | 4 |
= -15 * 4 - 5 * ( -10) =
= -60 + 50 =
= -10
Calculamos det A3 más información
Hay que reemplazar la columna 3 en det A por la columna de la parte derecha del sistema de ecuaciones.
| Sistema de ecuaciones | det A | det A3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| det A3 = | -2 | 1 | -13 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 3 | 1 | 12 |
A los elementos de la fila 1 sumamos los correspondientes elementos de la fila 2 multiplicados por -1. más información
| -2 + ( -1) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | -13 + ( -9) * ( -1) | ||
| -1 | 1 | -9 | ||
| 3 | 1 | 12 |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | -1 | 0 | -4 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 3 | 1 | 12 |
A los elementos de la fila 3 sumamos los correspondientes elementos de la fila 2 multiplicados por -1. más información
| -1 | 0 | -4 | ||
| -1 | 1 | -9 | ||
| 3 + ( -1) * ( -1) | 1 + 1 * ( -1) | 12 + ( -9) * ( -1) |
Esta transformación elemental no cambiará el valor del determinante.
| = | -1 | 0 | -4 | = | ||
| -1 | 1 | -9 | ||||
| 4 | 0 | 21 |
Desarrollamos el determinante por los elementos de la columna 2. más información
|
Número de fila 1 Número de columna 2 |
Elemento | Se excluyeron la fila 1 y la columna 2 |
|||||||||||||
| ( -1) 1 + 2 | * | 0 | * |
|
|
Número de fila 2 Número de columna 2 |
Elemento | Se excluyeron la fila 2 y la columna 2 |
|||||||||||||
| ( -1) 2 + 2 | * | 1 | * |
|
|
Número de fila 3 Número de columna 2 |
Elemento | Se excluyeron la fila 3 y la columna 2 |
|||||||||||||
| ( -1) 3 + 2 | * | 0 | * |
|
Las multiplicaciones se suman. Si el elemento es igual a cero, entonces la multiplicación también es igual a cero.
| = ( -1) 2 + 2 * 1 * | -1 | -4 | = | ||
| 4 | 21 |
| = | -1 | -4 | = | ||
| 4 | 21 |
= -1 * 21 - ( -4) * 4 =
= -21 + 16 =
= -5
Respuesta:
x1 = det A1 / det A = 25/5 = 5
x2 = det A2 / det A = -10/5 = -2
x3 = det A3 / det A = -5/5 = -1