Przykład obliczenia wyznacznika macierzy 3x3

Takie rozwiązanie zostało otrzymane przy użyciu kalkulatora przedstawionego na stronie.

1. Obliczamy det A, wykorzystując przekształcenia elementarne wyznacznika.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Do elementów kolumny 3 dodajemy odpowiednie elementy kolumny 1 pomnożone przez -1. dowiedz się więcej

-3	-3	-4 + ( -3) * ( -1)
-4	4	-6 + ( -4) * ( -1)
4	-6	5 + 4 * ( -1)

To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.

=	-3	-3	-1	=
	-4	4	-2
	4	-6	1

Do elementów kolumny 1 dodajemy odpowiednie elementy kolumny 3 pomnożone przez -2. dowiedz się więcej

-3 + ( -1) * ( -2)	-3	-1
-4 + ( -2) * ( -2)	4	-2
4 + 1 * ( -2)	-6	1

To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.

=	-1	-3	-1	=
	0	4	-2
	2	-6	1

Do elementów kolumny 2 dodajemy odpowiednie elementy kolumny 3 pomnożone przez 2. dowiedz się więcej

-1	-3 + ( -1) * 2	-1
0	4 + ( -2) * 2	-2
2	-6 + 1 * 2	1

To przekształcenie elementarne nie zmieni wartości wyznacznika.

=	-1	-5	-1	=
	0	0	-2
	2	-4	1

Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 2. dowiedz się więcej

-1	-5	-1
0	0	-2
2	-4	1

Numer wiersza 2
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 2 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 1}

		-5	-1
		-4	1

-1	-5	-1
0	0	-2
2	-4	1

Numer wiersza 2
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 2 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 2}

		-1	-1
		2	1

-1	-5	-1
0	0	-2
2	-4	1

Numer wiersza 2
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 2 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 3}

-2

		-1	-5
		2	-4

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{2 + 3} * ( -2) *		-1	-5		=
		2	-4

= 2 *		-1	-5		=
		2	-4

= 2 * ( -1 * ( -4) - ( -5) * 2 ) =

= 2 * ( 4 + 10 ) =

= 28

2. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem wiersza 1.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 1. dowiedz się więcej

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 1
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 1 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{1 + 1}

-3

		4	-6
		-6	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 1
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 1 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{1 + 2}

-3

		-4	-6
		4	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 1
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 1 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{1 + 3}

-4

		-4	4
		4	-6

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{1 + 1} * ( -3) *		4	-6
		-6	5

+ ( -1) ^{1 + 2} * ( -3) *		-4	-6
		4	5

+ ( -1) ^{1 + 3} * ( -4) *		-4	4		=
		4	-6

= - 3 *		4	-6
		-6	5

+ 3 *		-4	-6
		4	5

- 4 *		-4	4		=
		4	-6

= - 3 * ( 4 * 5 - ( -6) * ( -6) )

+ 3 * ( -4 * 5 - ( -6) * 4 )

- 4 * ( -4 * ( -6) - 4 * 4 ) =

= - 3 * ( 20 - 36 )

+ 3 * ( -20 + 24 )

- 4 * ( 24 - 16 ) =

= 48

+ 12

- 32 =

= 28

3. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem wiersza 2.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 2. dowiedz się więcej

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 2
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 2 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 1}

-4

		-3	-4
		-6	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 2
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 2 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 2}

		-3	-4
		4	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 2
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 2 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 3}

-6

		-3	-3
		4	-6

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{2 + 1} * ( -4) *		-3	-4
		-6	5

+ ( -1) ^{2 + 2} * 4 *		-3	-4
		4	5

+ ( -1) ^{2 + 3} * ( -6) *		-3	-3		=
		4	-6

= 4 *		-3	-4
		-6	5

+ 4 *		-3	-4
		4	5

+ 6 *		-3	-3		=
		4	-6

= 4 * ( -3 * 5 - ( -4) * ( -6) )

+ 4 * ( -3 * 5 - ( -4) * 4 )

+ 6 * ( -3 * ( -6) - ( -3) * 4 ) =

= 4 * ( -15 - 24 )

+ 4 * ( -15 + 16 )

+ 6 * ( 18 + 12 ) =

= -156

+ 4

+ 180 =

= 28

4. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem wiersza 3.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Rozwijamy wyznacznik względem wiersza 3. dowiedz się więcej

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 3
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 3 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{3 + 1}

		-3	-4
		4	-6

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 3
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 3 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{3 + 2}

-6

		-3	-4
		-4	-6

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 3
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 3 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{3 + 3}

		-3	-3
		-4	4

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{3 + 1} * 4 *		-3	-4
		4	-6

+ ( -1) ^{3 + 2} * ( -6) *		-3	-4
		-4	-6

+ ( -1) ^{3 + 3} * 5 *		-3	-3		=
		-4	4

= 4 *		-3	-4
		4	-6

+ 6 *		-3	-4
		-4	-6

+ 5 *		-3	-3		=
		-4	4

= 4 * ( -3 * ( -6) - ( -4) * 4 )

+ 6 * ( -3 * ( -6) - ( -4) * ( -4) )

+ 5 * ( -3 * 4 - ( -3) * ( -4) ) =

= 4 * ( 18 + 16 )

+ 6 * ( 18 - 16 )

+ 5 * ( -12 - 12 ) =

= 136

+ 12

- 120 =

= 28

5. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem kolumny 1.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 1. dowiedz się więcej

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 1
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 1 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{1 + 1}

-3

		4	-6
		-6	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 2
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 2 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 1}

-4

		-3	-4
		-6	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 3
Numer kolumny 1

Element

Wiersz 3 i kolumna 1
zostały przekreślone

( -1) ^{3 + 1}

		-3	-4
		4	-6

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{1 + 1} * ( -3) *		4	-6
		-6	5

+ ( -1) ^{2 + 1} * ( -4) *		-3	-4
		-6	5

+ ( -1) ^{3 + 1} * 4 *		-3	-4		=
		4	-6

= - 3 *		4	-6
		-6	5

+ 4 *		-3	-4
		-6	5

+ 4 *		-3	-4		=
		4	-6

= - 3 * ( 4 * 5 - ( -6) * ( -6) )

+ 4 * ( -3 * 5 - ( -4) * ( -6) )

+ 4 * ( -3 * ( -6) - ( -4) * 4 ) =

= - 3 * ( 20 - 36 )

+ 4 * ( -15 - 24 )

+ 4 * ( 18 + 16 ) =

= 48

- 156

+ 136 =

= 28

6. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem kolumny 2.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 2. dowiedz się więcej

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 1
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 1 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{1 + 2}

-3

		-4	-6
		4	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 2
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 2 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 2}

		-3	-4
		4	5

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 3
Numer kolumny 2

Element

Wiersz 3 i kolumna 2
zostały przekreślone

( -1) ^{3 + 2}

-6

		-3	-4
		-4	-6

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{1 + 2} * ( -3) *		-4	-6
		4	5

+ ( -1) ^{2 + 2} * 4 *		-3	-4
		4	5

+ ( -1) ^{3 + 2} * ( -6) *		-3	-4		=
		-4	-6

= 3 *		-4	-6
		4	5

+ 4 *		-3	-4
		4	5

+ 6 *		-3	-4		=
		-4	-6

= 3 * ( -4 * 5 - ( -6) * 4 )

+ 4 * ( -3 * 5 - ( -4) * 4 )

+ 6 * ( -3 * ( -6) - ( -4) * ( -4) ) =

= 3 * ( -20 + 24 )

+ 4 * ( -15 + 16 )

+ 6 * ( 18 - 16 ) =

= 12

+ 4

+ 12 =

= 28

7. Obliczamy det A, używając rozwinięcia względem kolumny 3.

det A =	-3	-3	-4	=
	-4	4	-6
	4	-6	5

Rozwijamy wyznacznik względem kolumny 3. dowiedz się więcej

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 1
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 1 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{1 + 3}

-4

		-4	4
		4	-6

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 2
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 2 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{2 + 3}

-6

		-3	-3
		4	-6

-3	-3	-4
-4	4	-6
4	-6	5

Numer wiersza 3
Numer kolumny 3

Element

Wiersz 3 i kolumna 3
zostały przekreślone

( -1) ^{3 + 3}

		-3	-3
		-4	4

Iloczyny są sumowane. Jeśli element ma wartość zero, to iloczyn również wynosi zero.

= ( -1) ^{1 + 3} * ( -4) *		-4	4
		4	-6

+ ( -1) ^{2 + 3} * ( -6) *		-3	-3
		4	-6

+ ( -1) ^{3 + 3} * 5 *		-3	-3		=
		-4	4

= - 4 *		-4	4
		4	-6

+ 6 *		-3	-3
		4	-6

+ 5 *		-3	-3		=
		-4	4

= - 4 * ( -4 * ( -6) - 4 * 4 )

+ 6 * ( -3 * ( -6) - ( -3) * 4 )

+ 5 * ( -3 * 4 - ( -3) * ( -4) ) =

= - 4 * ( 24 - 16 )

+ 6 * ( 18 + 12 )

+ 5 * ( -12 - 12 ) =

= -32

+ 180

- 120 =

= 28

Nie zapomnij wesprzeć strony linkiem.