Пример решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Пожалуйста, обратите внимание, что коэффициенты расположенные на "красных" позициях исчезают.
 | 3 | x1 | + | 2 | x2 | + | x3 | + | x4 | = | - 2 | |||
| x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | |||||
| - | 2 | x1 | - | 2 | x2 | - | 3 | x3 | + | x4 | = | 9 | ||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
Уравнения 1 и 2 поменяем местами.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 3 | x1 | + | 2 | x2 | + | x3 | + | x4 | = | - 2 | ||||
| - | 2 | x1 | - | 2 | x2 | - | 3 | x3 | + | x4 | = | 9 | ||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
К уравнению 2 прибавляем уравнение 1, умноженное на -3. подробнее
( 3 x1 + x1 * ( -3) )
+ ( 2 x2 + ( - x2) * ( -3) )
+ ( x3 + 4 x3 * ( -3) )
+ ( x4 + ( - x4) * ( -3) )
= -2 + ( -1) * ( -3)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 5 | x2 | - | 11 | x3 | + | 4 | x4 | = | 1 | |||||
| - | 2 | x1 | - | 2 | x2 | - | 3 | x3 | + | x4 | = | 9 | ||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
К уравнению 3 прибавляем уравнение 1, умноженное на 2. подробнее
( -2 x1 + x1 * 2 )
+ ( -2 x2 + ( - x2) * 2 )
+ ( -3 x3 + 4 x3 * 2 )
+ ( x4 + ( - x4) * 2 )
= 9 + ( -1) * 2
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 5 | x2 | - | 11 | x3 | + | 4 | x4 | = | 1 | |||||
| - | 4 | x2 | + | 5 | x3 | - | x4 | = | 7 | |||||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
К уравнению 4 прибавляем уравнение 1, умноженное на -1. подробнее
( x1 + x1 * ( -1) )
+ ( 5 x2 + ( - x2) * ( -1) )
+ ( - x3 + 4 x3 * ( -1) )
+ ( 2 x4 + ( - x4) * ( -1) )
= 4 + ( -1) * ( -1)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 5 | x2 | - | 11 | x3 | + | 4 | x4 | = | 1 | |||||
| - | 4 | x2 | + | 5 | x3 | - | x4 | = | 7 | |||||
| 6 | x2 | - | 5 | x3 | + | 3 | x4 | = | 5 |
К уравнению 2 прибавляем уравнение 3. подробнее
( 5 x2 + ( -4 x2) )
+ ( -11 x3 + 5 x3 )
+ ( 4 x4 + ( - x4) )
= 1 + 7
Данное преобразование позволит нам считать без дробей какое то время.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 4 | x2 | + | 5 | x3 | - | x4 | = | 7 | |||||
| 6 | x2 | - | 5 | x3 | + | 3 | x4 | = | 5 |
К уравнению 3 прибавляем уравнение 2, умноженное на 4. подробнее
( -4 x2 + x2 * 4 )
+ ( 5 x3 + ( -6 x3) * 4 )
+ ( - x4 + 3 x4 * 4 )
= 7 + 8 * 4
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| 6 | x2 | - | 5 | x3 | + | 3 | x4 | = | 5 |
К уравнению 4 прибавляем уравнение 2, умноженное на -6. подробнее
( 6 x2 + x2 * ( -6) )
+ ( -5 x3 + ( -6 x3) * ( -6) )
+ ( 3 x4 + 3 x4 * ( -6) )
= 5 + 8 * ( -6)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| 31 | x3 | - | 15 | x4 | = | - 43 |
К уравнению 4 прибавляем уравнение 3, умноженное на 31/19. подробнее
( 31 x3 + ( -19 x3) * 31/19 )
+ ( -15 x4 + 11 x4 * 31/19 )
= -43 + 39 * 31/19
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| 56/19 | x4 | = | 392/19 |
Уравнеие 4 разделим на 56/19.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| x4 | = | 7 |
К уравнению 3 прибавляем уравнение 4, умноженное на -11. подробнее
- 19 x3
+ ( 11 x4 + x4 * ( -11) )
= 39 + 7 * ( -11)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | = | - 38 | ||||||||||
| x4 | = | 7 |
К уравнению 2 прибавляем уравнение 4, умноженное на -3. подробнее
x2
- 6 x3
+ ( 3 x4 + x4 * ( -3) )
= 8 + 7 * ( -3)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | = | - 13 | |||||||||
| - | 19 | x3 | = | - 38 | ||||||||||
| x4 | = | 7 |
К уравнению 1 прибавляем уравнение 4. подробнее
x1
+ - x2
+ 4 x3
+ ( - x4 + x4 )
= -1 + 7
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | = | 6 | ||||||
| x2 | - | 6 | x3 | = | - 13 | |||||||||
| - | 19 | x3 | = | - 38 | ||||||||||
| x4 | = | 7 |
Уравнеие 3 разделим на -19.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | = | 6 | ||||||
| x2 | - | 6 | x3 | = | - 13 | |||||||||
| x3 | = | 2 | ||||||||||||
| x4 | = | 7 |
К уравнению 2 прибавляем уравнение 3, умноженное на 6. подробнее
x2
+ ( -6 x3 + x3 * 6 )
= -13 + 2 * 6
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | = | 6 | ||||||
| x2 | = | - 1 | ||||||||||||
| x3 | = | 2 | ||||||||||||
| x4 | = | 7 |
К уравнению 1 прибавляем уравнение 3, умноженное на -4. подробнее
x1
+ - x2
+ ( 4 x3 + x3 * ( -4) )
= 6 + 2 * ( -4)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | - | x2 | = | - 2 | |||||||||
| x2 | = | - 1 | ||||||||||||
| x3 | = | 2 | ||||||||||||
| x4 | = | 7 |
К уравнению 1 прибавляем уравнение 2. подробнее
x1
+ ( - x2 + x2 )
= -2 + ( -1)
"Красный" коэффициент равен нулю.
| | x1 | = | - 3 | |||||||||||
| x2 | = | - 1 | ||||||||||||
| x3 | = | 2 | ||||||||||||
| x4 | = | 7 |
Ответ:
x1 = - 3
x2 = - 1
x3 = 2
x4 = 7