El ejemplo de solución del sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
Esta solución está hecha en la calculadora presentada en el sitio web.
Por favor, fíjese que los coeficientes en las posiciones “rojas” desaparecen.
 | 3 | x1 | + | 2 | x2 | + | x3 | + | x4 | = | - 2 | |||
| x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | |||||
| - | 2 | x1 | - | 2 | x2 | - | 3 | x3 | + | x4 | = | 9 | ||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
Cambiamos de lugar las ecuaciones 1 y 2.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 3 | x1 | + | 2 | x2 | + | x3 | + | x4 | = | - 2 | ||||
| - | 2 | x1 | - | 2 | x2 | - | 3 | x3 | + | x4 | = | 9 | ||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
A la ecuación 2 sumamos la ecuación 1 multiplicada por -3. más información
( 3 x1 + x1 * ( -3) )
+ ( 2 x2 + ( - x2) * ( -3) )
+ ( x3 + 4 x3 * ( -3) )
+ ( x4 + ( - x4) * ( -3) )
= -2 + ( -1) * ( -3)
El coeficiente “rojo” es igual a cero.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 5 | x2 | - | 11 | x3 | + | 4 | x4 | = | 1 | |||||
| - | 2 | x1 | - | 2 | x2 | - | 3 | x3 | + | x4 | = | 9 | ||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
A la ecuación 3 sumamos la ecuación 1 multiplicada por 2. más información
( -2 x1 + x1 * 2 )
+ ( -2 x2 + ( - x2) * 2 )
+ ( -3 x3 + 4 x3 * 2 )
+ ( x4 + ( - x4) * 2 )
= 9 + ( -1) * 2
El coeficiente “rojo” es igual a cero.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 5 | x2 | - | 11 | x3 | + | 4 | x4 | = | 1 | |||||
| - | 4 | x2 | + | 5 | x3 | - | x4 | = | 7 | |||||
| x1 | + | 5 | x2 | - | x3 | + | 2 | x4 | = | 4 |
A la ecuación 4 sumamos la ecuación 1 multiplicada por -1. más información
( x1 + x1 * ( -1) )
+ ( 5 x2 + ( - x2) * ( -1) )
+ ( - x3 + 4 x3 * ( -1) )
+ ( 2 x4 + ( - x4) * ( -1) )
= 4 + ( -1) * ( -1)
El coeficiente “rojo” es igual a cero.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| 5 | x2 | - | 11 | x3 | + | 4 | x4 | = | 1 | |||||
| - | 4 | x2 | + | 5 | x3 | - | x4 | = | 7 | |||||
| 6 | x2 | - | 5 | x3 | + | 3 | x4 | = | 5 |
A la ecuación 2 sumamos la ecuación 3. más información
( 5 x2 + ( -4 x2) )
+ ( -11 x3 + 5 x3 )
+ ( 4 x4 + ( - x4) )
= 1 + 7
Esta transformación nos permite calcular sin fracciones durante un tiempo.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 4 | x2 | + | 5 | x3 | - | x4 | = | 7 | |||||
| 6 | x2 | - | 5 | x3 | + | 3 | x4 | = | 5 |
A la ecuación 3 sumamos la ecuación 2 multiplicada por 4. más información
( -4 x2 + x2 * 4 )
+ ( 5 x3 + ( -6 x3) * 4 )
+ ( - x4 + 3 x4 * 4 )
= 7 + 8 * 4
El coeficiente “rojo” es igual a cero.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| 6 | x2 | - | 5 | x3 | + | 3 | x4 | = | 5 |
A la ecuación 4 sumamos la ecuación 2 multiplicada por -6. más información
( 6 x2 + x2 * ( -6) )
+ ( -5 x3 + ( -6 x3) * ( -6) )
+ ( 3 x4 + 3 x4 * ( -6) )
= 5 + 8 * ( -6)
El coeficiente “rojo” es igual a cero.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| 31 | x3 | - | 15 | x4 | = | - 43 |
A la ecuación 4 sumamos la ecuación 3 multiplicada por 31/19. más información
( 31 x3 + ( -19 x3) * 31/19 )
+ ( -15 x4 + 11 x4 * 31/19 )
= -43 + 39 * 31/19
El coeficiente “rojo” es igual a cero.
| | x1 | - | x2 | + | 4 | x3 | - | x4 | = | - 1 | ||||
| x2 | - | 6 | x3 | + | 3 | x4 | = | 8 | ||||||
| - | 19 | x3 | + | 11 | x4 | = | 39 | |||||||
| 56/19 | x4 | = | 392/19 |
De la ecuación 4 del sistema encontramos el valor de la variable x4.
56/19 x4 = 392/19
x4 = 7
De la ecuación 3 del sistema encontramos el valor de la variable x3.
- 19 x3 + 11 x4 = 39
- 19 x3 = 39 - 11 x4
- 19 x3 = 39 - 11 * ( 7 )
x3 = 2
De la ecuación 2 del sistema encontramos el valor de la variable x2.
x2 - 6 x3 + 3 x4 = 8
x2 = 8 + 6 x3 - 3 x4
x2 = 8 + 6 * ( 2 ) - 3 * ( 7 )
x2 = - 1
De la ecuación 1 del sistema encontramos el valor de la variable x1.
x1 - x2 + 4 x3 - x4 = - 1
x1 = - 1 + x2 - 4 x3 + x4
x1 = - 1 + ( - 1 ) - 4 * ( 2 ) + ( 7 )
x1 = - 3
Respuesta:
x1 = - 3
x2 = - 1
x3 = 2
x4 = 7